Divizibilitate

Problema divizibilității a fost studiată în general de matematicianul francez Pascal.

Definiție:

„","b" numere naturale În cazul în care"Număr"bSe numește dealer, dacă existăq" numar natural, că există egalitatea b = a⋅q. Apoi spunem că „b” este divizibil cu „a”.

Notaţie: a | b dacă b = a⋅q și a, b, q pentru ∈ ℕ.
De exemplu: 9 | 63 deoarece 63 = 9⋅7.

Note:

1. Deoarece toate numerele și opusul lor se comportă la fel în ceea ce privește divizibilitatea, este suficient să se formuleze o definiție pentru numerele naturale. Zero este un număr natural.
2. Divizibilitatea nu trebuie confundată cu diviziunea. Definiția divizibilității nu include nici măcar operația de divizare. Operația 0: 0 nu este interpretată, dar 0 | 0 este da, adică 0 este un divizor al zero, deoarece 0 = 0⋅q, q pentru orice număr natural.
3. Din definiție rezultă că dintre numerele naturale, dacă a | b, atunci a nu este mai mare decât b.

Proprietăți de bază ale divizibilității:

Variabilele enumerate aici sunt toate numere naturale.

1. a | a. (Proprietate reflexivă.)
Adică, fiecare număr este un divizor al său. (De asemenea, zero) Deoarece 1 este un număr natural, deci a = a⋅1. De exemplu: 27 | 27, 0 | 0, 1 | 1 etc.

2. Dacă a | b și b | c, atunci a | c. (Proprietate tranzitivă.)
De exemplu: 3 | 27, 27 | 162, 3 | 162.

3. Dacă | b și | c, atunci | (b + c).
Adică, dacă un număr este un divizor separat de două numere, atunci și suma celor două numere. De exemplu: 5 | 15, 5 | 60 și 5 | 75 = 15 + 60 = 75.

4. Dacă | (b + c) și | b, atunci | c.
Adică, dacă un număr este divizorul unei sume și divizorul unui membru al sumei, acesta este, de asemenea, un divizor al celuilalt membru al sumei. De exemplu, 7 | 35 = 14 + 21, 7 | 14 și 7 | 21.

5. Dacă a | b, atunci | bd.
Adică, dacă un număr este divizorul altuia, este și divizorul tuturor multiplilor acestuia. De exemplu: 6 | 18 și 6 | 54 = 18⋅3.

6. Dacă a | 1, atunci a = 1.

7. Dacă a | b și b | a, atunci a = b. (Divizibilitatea este asimetrică.)

8. a | 0 arbitrar pentru elementul ℕ. Adică 0 este divizorul oricărui număr natural. Zero-ul este.

9. Dacă pentru | c, b | c și (a, b) = 1, atunci (ab) | c.

Numerele naturale sunt împărțite în patru grupe în funcție de numărul divizorilor:

1. Există un divizor de 1.
2. Numerele care au exact doi divizori sunt numere prime.
Proprietatea principală a primilor: Dacă un număr prim este divizorul unui produs, atunci divizorul unuia dintre factorii produsului.
3. Numerele care au mai mult de două, dar un număr finit de divizori sunt numere complexe.
4. 0 are un număr infinit de divizori.

În consecință, 0 și 1 nu sunt nici numere prime, nici numere complexe.

Reguli de divizibilitate.

Acestea sunt practic legate de numărul de bază al sistemului numeric.
Aici urmați cele mai comune reguli de divizibilitate formulate în sistemul numeric 10.

Sarcină:

Determinați valorile posibile ale cifrelor x și y în numărul din șase cifre scris în următorul sistem numeric zecimal, astfel încât numărul să fie divizibil cu 36. \ (36 | \ overline \)

(Sumar sarcină de colectare sarcini 3940.)

Soluţie:

Împărțiți 36 la produsul a două numere prime relative unul față de celălalt: 36 = 9⋅4, unde (9; 4) = 1. Numărul solicitat este divizibil cu 36 dacă este divizibil atât cu 9, cât și cu 4. Deoarece divizibilitatea cu 4 depinde doar de ultimele două cifre ale numărului, considerăm divizibilitatea lui 4 mai întâi, deci valorile posibile ale lui y sunt: 2, 6.
Pentru a fi divizibil cu 9, suma cifrelor trebuie să dea un număr divizibil cu 9.
Dacă y = 2, atunci suma cifrelor este 3 + 2 + 4 + 5 + 2 = 16. Deci x = 2.
Dacă y = 6, atunci suma cifrelor este 3 + 2 + 4 + 5 + 6 = 20. Deci x = 7.

Deci, avem două soluții bune:

1. pentru y = 2 și x = 2 322452. Verificare: 322452 = 36⋅8957.
2. pentru y = 6 și x = 7 327456. Verificați: 327456 = 36⋅9096.