Ecuația elipsei

Pentru a determina ecuația unei elipse, să începem cu definiția unei elipse!

Definiție:

Elipsa este suma (poziția geometrică) a punctelor P în plan, care sunt suma distanțelor lor (razele de ghidare r1 și r2) de la două puncte date în plan, punctele focale F1 și F2) (2a). Această distanță trebuie să fie mai mare decât cele două puncte focale (2c).

este
THE 2a distanța este axa principală a elipsei (distanța AB în figura atașată, în timp ce elipsa este perpendiculară pe aceasta 2b lungime axă minoră (distanță CD).

În figura atașată, ODB inscripționând teorema lui Pitagora într-un triunghi dreptunghiular: c 2 = a 2 -b 2 .

Așezați elipsa în sistemul de coordonate astfel încât a 2a axa principală a lungimii este „x”, a 2b iar axa sa minoră cade pe axa „y”. Atunci centrul elipsei este originea, iar coordonatele punctelor sale focale sunt: ​​F1 (-c; 0) și F2 (c; 0).

Pentru ecuația elipsei, scrie elipsa în mod arbitrar P (x; y) distanța față de cele două puncte focale. Conform definiției unei elipse, suma acestor două distanțe este constantă (2a) trebuie să fie. Din aceasta vom obține ecuația elipsei.

Afirmație:

Ecuația centrală valabilă pentru punctele P (x; y) ale elipsei plasate mai sus: \ (\ frac + \ frac = 1 \).

Dovadă:

1. Distanța punctului P (x; y) de punctul de focalizare F1 (-c; 0): d (P; F1):
Aici folosim relația învățată pentru distanța dintre cele două puncte:

2. Distanța punctului P (x; y) de punctul de focalizare F2 (c; 0): d (P; F2):

Suma celor două distanțe dă ecuația elipsei:

Desigur, acest lucru trebuie totuși reproiectat pentru a obține formula din enunțul teoremei!

Regrupa!

Păstrați ambele părți!

Se scade din ambele părți y 2 -t!

Deschideți parantezele!

Scădeți din ecuație termenii de potrivire (x 2, c 2) de pe ambele părți ale ecuației!

Adăugați 2xc pe fiecare parte a ecuației!

Regrupați și împărțiți ambele părți la 4!

Să-l pătrăm!

Deschideți parantezele!

Scădeți din ecuație termenii de potrivire (2a 2 xc) de pe ambele părți ale ecuației!

Regrupa!

Evidențiați x 2 în stânga și 2 în dreapta!

Folosind asta a 2 -c 2 = b 2:

Împărțiți ambele părți ale ecuației cu 2 b 2. (care nu poate fi zero):

Și asta trebuia dovedit.

Sarcină:

Ecuația unei elipse este \ (\ frac + \ frac = 1 \). Ce lungime a razelor de ghidare aparțin punctelor de elipsă care au aceeași abscisă ca punctele focale?

(Colectarea sumară a sarcinilor 3435. sarcină.)

Soluţie:

Rezultă din ecuația dată, a 2 = 25 și b 2 = 16, că jumătate din lungimea axei majore a elipsei a = 5 Astfel, lungimea axei majore este 2a = 10, jumătate din lungimea axei minore: b = 4.

Folosind c 2 = relația 2 -b 2 c = 3, Se obține 2c = 6. Aceasta înseamnă că coordonatele punctelor focale, punctele de focalizare F1 și F2: F1 (-3; 0), și F2 (3; 0).

Dacă desenăm puncte paralele cu axa y prin punctele de focalizare, obținem puncte care au aceeași abscisă ca punctele de focalizare (P1, P2, P3, P4).

Dacă înlocuim valoarea abscisei punctelor de focalizare (a 3) cu x în loc de ecuația elipsei, coordonatele y pot fi calculate din ecuația rezultată. Din ecuația \ (\ frac + \ frac = 1 \) y1 = 3.2 și y2 = -3,2 apare.
Valoarea razei de ghidare r1 în acest caz este egală cu valoarea absolută a coordonatei y a punctelor obținute, deci r1 = 3.2.
Deoarece lungimea axei majore a elipsei este egală cu suma celor două raze de ghidare, prin urmare: r1 + r2 = 10. Rezultă că valoarea celeilalte raze de ghidare în acest caz este: r2 = 6,8.

Comentariile sunt închise, dar trackback-urile și pingback-urile sunt deschise.

  • Matematicieni
    • Matematicieni antici
    • Matematicieni medievali
    • Matematicieni moderni
  • Metode de gândire
    • Seturi
    • Logica matematică
    • Combinatorie
    • Grafice
  • Algebră
    • Teoria numerelor
    • Seturi de numere
    • Puterea, rădăcina, logaritmul
    • Expresii algebrice
    • Proporționalitate, proporționalitate
    • Ecuații, inegalități, înseamnă
  • Funcții
    • Funcțiile elementare și proprietățile acestora
    • Serie
    • Calcul diferențial
    • Calcul integral
  • Geometrie
    • Concepte geometrice de bază
    • Transformări geometrice
    • Triunghiuri
    • Dreptunghiuri
    • Poligoane
    • Boală
    • Vectori
    • Trigonometrie
    • Geometria coordonatelor
    • Topologie
    • Geometria spațială
  • Statistici
  • Teoria probabilității
  • Despre matematică
  • Probleme matematice notabile
  • Curiozități matematice

Concepte importante