INGINERIE ELECTRICĂ. Exemple și sarcini de calculare a circuitelor. UNIVERSITATEA DIN MISKOLC Departamentul de electrotehnică și electronică

UNIVERSITATEA DIN MISKOLC Departamentul de Inginerie Electrică și Electronică INGINERIE ELECTRICĂ Exemple și sarcini de calculare a circuitelor Compilat de: Dr. László Radács Facultatea de Inginerie Mecanică și Informatică Institutul de Inginerie Electrică

CUPRINS 1 Concepte de bază ale calculului circuitului, legi de bază. 2 1.1 Elemente de circuit, părți ale circuitelor, puteri. 2 1.1.1 Elemente active. 2 1.1.2 Elemente pasive. 4 1.1.3 Performanță. 4 1.1.4 Părți ale circuitelor. 5 1.2 Legile lui Kirchhoff. 6 1.2.1 Exemplu de exemplu. 7 1.2.2 Exerciții. 8 1.3 Relațiile de distribuție a tensiunii și curentului. 9 1.3.1 Exemplu de exemplu. 9 1.3.2 Exerciții. 10 2 Elemente de calcul al circuitului. 12 2.1 Principiul suprapunerii. 12 2.1.1 Exemplu de exemplu. 12 2.1.2 Exerciții. 13 2.2 Elementele generatoarelor de schimb. 15 Teorema lui Thevenin. 15 2.2.1 Exemplu de exemplu. 16 2.2.2 Exerciții. 17 Teorema Norton. 19 2.2.3 Exemplu de probă. 19 2.2.4 Exerciții. 20 3 Sisteme trifazate. 21 3.1 Rezumatul teoretic. 21 3.2 Exemple de exemple. 24 3.2.1 Conexiune stelară simetrică. 24 3.2.2 Comutarea delta simetrică. 24 3.2.3 Comutare asimetrică în stea. 25 3.2.4 Comutare delta asimetrică. 26 3.3 Exerciții. 28 Literatură. 30 1

Figura 5: Prezentarea părților circuitelor Direcții agreate (reale): Curent: direcția reală sau aparentă a mișcării sarcinilor pozitive. Tensiune: direcția reducerii potențiale. Direcții de referință (referință, măsurare): curenții și tensiunile nespecificate cu direcția lor sunt direcția circuitului înregistrată în mod arbitrar pentru calcul. Dacă rezultatul calculului este pozitiv, atunci direcția pe care o luăm este aceeași cu direcția convenită, dacă este negativă, este opusă. 1.2 Legile lui Kirchhoff I. Legea nodului: exprimă legea păstrării sarcinii. Suma intrărilor și ieșirilor către un nod în direcția de referință este zero. Semnul curenților care intră și ies din nod trebuie ales diferit. n ik 0 k 1 i1 i2 + i3 + i4 i5 = 0 Figura 6: Aplicarea legii nodului II. Legea buclei: exprimă legea conservării energiei. Suma tensiunilor care funcționează într-o buclă conform direcției de referință este zero. Semnul tensiunilor în aceeași direcție sau opusă cu circumferința înregistrată a buclei trebuie ales diferit. 6

1.2.2 Exerciții 1. Două generatoare cu tensiuni de sursă diferite și rezistențe interne alimentează un consumator în paralel. Determinați curentul tuturor celor trei ramuri ale circuitului și tensiunea comună a terminalului. (Rezultate: I1 = 1,54 A, I2 = 0,23 A, I = 1,31 A, U = 10,47 V) 2. Determinați curentul rezistențelor din următorul circuit. (Rezultate: I1 = 3 A, I2 = 1 A, I3 = 2 A, I4 = 2,5 A, I5 = 0,5 A) 3. Calculați curentul tuturor ramurilor circuitului prezentat în figură. (Rezultate: I1 = 1,5 A, I2 = 1,1 A, I3 = 0,33 A, I4 = 1,44 A, I5 = 1,17 A) 8

I 2 = U 3 R 2 + R 4 R 5 = 6 5 + 5 5 = 0,8 După determinarea I2, curentul I4 cu relația de distribuție a curentului: I 4 = I 2 R 5 R 4 + R 5 = 0,8 5 5 + 5 = 0,4 A Dacă problema este doar curentul I4, atunci prin aplicarea divizorului de tensiune într-o manieră asemănătoare lanțului, tensiunea rezistorului R4 poate fi scrisă direct și apoi, conform legii lui Ohm, curentul său. I 4 = UR 3 (R 2 + R 4 R 5) R 1 + R 3 (R 2 + R 4 R 5) R 4 R 5 1 = 16 3 R 2 + R 4 R 5 R 4 8 2,5 7 .5 1 5 = 0.4 A 1.3.2 Exerciții 1. Calculați tensiunile tuturor rezistențelor utilizând relația divizor de tensiune după luarea direcțiilor de referință. Uo = 10 V R1 = 2 R2 = 3 R3 = 4 R4 = 3 (Rezultate: U1 = 4,88 V, U2 = 5,12 V, U3 = 2,93 V, U4 = 2,19 V; semnul tensiunilor depinde de direcțiile înregistrate.) 2 Calculați curentul tuturor rezistențelor utilizând relația de distribuție curentă după înregistrarea direcțiilor de referință. Io = 6 A R1 = 2 R2 = 3 R3 = 4 R4 = 3 (Rezultate: I1 = 3,2 A, I2 = 1,6 A, I3 = 2,8 A, I4 = 1,6 A depinde de direcțiile luate.) 10

3. Determinați tensiunea U4 în circuit. (Rezultat: U4 = 1,43 V) U = 10 V R 1 = 2,5 R 2 = 5 R 3 = 2,5 R 4 = 5 R 5 = 5 Ω 4. Determinați curentul I5 în circuit. Io = 6 A R1 = 2 R2 = 3 R3 = 4 R4 = 3 R5 = 3 (Rezultat: I5 = 1 A) 5. Determinați tensiunea tuturor elementelor circuitului dacă valoarea efectivă a tensiunii generatorului sinusoidal este U = 12 V, frecvența sa este f = 50 Hz (considerați faza inițială a acestuia ca zero)! R1 = 6 R2 = 8 Ω L = 15,9 mh C = 318 F (Rezultate: UL = 12/0 o V, UR1 = 6,23/19,7 o V, UR2 = UC = 6,49/18, 9 o V) 6. Determinați curentul tuturor elementelor circuitului circuitului următor dacă valoarea efectivă a curentului generatorului sinusoidal este I = 5 A, frecvența acestuia este f = 50 Hz (considerați faza inițială a acestuia ca zero). R1 = 10 R2 = 30 L = 63,7 mh C = 106 F (Rezultate: IR1 = 3,1/7,1 o A, IL = 1,96/11,3 o A, IR2 = 1,38/56, 3 o A, IC = 1,38/33,7 o A ) 11

2 Teoreme de calcul al circuitului 2.1 Principiul suprapunerii Principiul suprapunerii poate fi aplicat calculelor rețelelor liniare. O rețea este liniară dacă toate elementele sale sunt liniare, adică caracteristicile elementelor, adică relația i = f (u), este dreaptă. Poate și ar trebui utilizat dacă există mai multe generatoare în rețea. În rețelele liniare, reciproce cu surse multiple, efectul combinat al surselor poate fi determinat prin însumarea efectelor individuale ale acestora. La examinarea impactului fiecărei surse, celelalte trebuie dezactivate. (Pentru generatorul de tensiune Ug = 0, pentru generatorul de curent Ig = 0). 2.1.1 Exemplu de exemplu Determinați curentul și tensiunea rezistorului R3 al rețelei prezentate în figură folosind principiul suprapunerii. Soluție: U 0 = 10 VI 0 = 10 AR 1 = 2 R 2 = 4 R 3 = 3 R 4 = 3 Pasul de suprapunere 1 generatorul de tensiune U0 funcționează, I0 este dezactivat UR 3 (R 2 + R 4) 3 ( 4 + 3) 3 = U 0 = 10 R 1 + R 3 (R 2 + R 4) 2 + 3 (4 + 3) = 5,12 VI 3 = U 3 = 5,12 R 3 3 = 1,71 A Pasul de suprapunere 2 curentul generatorul I0 funcționează, U0 este dezactivat 12

IR 4 R 1 3 = I 0 = 10 R 4 + R 2 + R 1 R 3 R 1 + R 3 U 3 = I 3 R 3 = 1,46 3 = 4,39 V Pasul 3 Rezumatul efectelor fiecărui generator U 3 = U 3 + U 3 = 5,12 + 4,39 = 9,51 VI 3 = I 3 + I 3 = 1,71 + 1,46 = 3,17 A 3 3 + 4 + 2 3 2 2 + 3 = 1,46 A 2.1.2 Exerciții 1. Determinați valorile A curenților I2 și I 5 și a tensiunilor U2 și U 5 din rețeaua prezentată în figură folosind principiul suprapunerii. Ug1 = 150 V Ug2 = 120 VR 1 = 15 R 2 = 5 R 3 = 20 R 4 = 10 R 5 = 10 (Rezultate: U2 = 37,5 V, I2 = 7,5 A, U5 = 5 V, I5 = 0,5 A) 2. Determinați curentul și tensiunea rezistorului R 4 al rețelei prezentate în figură folosind principiul suprapunerii. U 1 = 100 VU 2 = 60 V (Rezultate: I4 = 0,57 A, U4 = 2,86 V) R 1 = 2,5 R 2 = 5 R 3 = 2,5 R 4 = 5 R 5 = 5 13

3. Calculați curentul I2 al următorului circuit folosind principiul suprapunerii. U = 100 VI = 5 A R1 = 30 R2 = 14 R3 = 10 R4 = 30 R5 = 16 (Rezultat: I2 = 2,57 A) 4. Determinați curentul și tensiunea rezistorului R 2 al rețelei prezentate în figură folosind principiul suprapunerii! Ug = 12 V Ig = 2 A R1 = 4 Ω R2 = 3 Ω R3 = 6 Ω R4 = 6 Ω (Rezultate: I2 = 1,69 A, U2 = 5,07 V) 5. Determinați rețeaua A prezentată în figură. și tensiunea ramurii B utilizând principiul suprapunerii! U1 = 120 V U2 = 100 V I = 12 A R1 = 10 Ω R2 = 50 Ω R3 = 20 Ω R4 = 30 Ω (Rezultate: IAB = 0.692 A, UAB = 20.8 V) 14

Dezactivarea înseamnă eliminarea cantităților sursă: Ug = 0, Ig = 0 și doar rezistența internă a generatoarelor este în circuit.) 2.2.1 Exemplu de exemplu Creați un surogat Thevenin pentru punctele A - B ale rețelei prezentate în figură și apoi folosiți-l pentru a determina curentul marcat I2! U = 120 V R1 = 20 R2 = 14 R3 = 20 R4 = 10 R5 = 15 Soluție: Prin eliminarea rezistorului R2 din punctele A - B, determinăm tensiunea de ralanti cu un divizor de tensiune, aceasta va fi tensiunea sursă a generator de înlocuire. Deoarece nu curge curent prin rezistențele R3 și R4, tensiunea rezistorului R3 poate fi măsurată între cele două puncte: U g = U AB0 = UR 3 R 1 + R 3 = 120 20 20 + 20 = 60 VA Rezistența internă al generatorului de schimb este circuitul dezactivat A - Rezistența rezultată vizualizată din punctele B va fi: R b = R ABer = R 1 R 3 + R 4 R 5 = = 20 20 + 10 15 = 16 Ω Cunoașterea parametrilor generator de înlocuire, înlocuiți rezistența R2 ca o sarcină și apoi calculați curentul I2 în cauză:

I 2 = U g R b + R 2 = 60 16 + 14 = 2 A Dacă R2 se schimbă, numai ultima relație trebuie recalculată. 2.2.2 Exerciții 1. Creați un model surogat Thevenin pentru terminalele rezistențelor R3 și apoi R5 pentru rețeaua prezentată în figură, apoi folosiți-le pentru a determina tensiunile marcate U3 și U5. U = 120 V R1 = 30 R2 = 26 R3 = 45 R4 = 60 R5 = 40 Ω (Rezultate: Ug3 = 75 V, Rb3 = 18,75 Ω, U3 = 52,9 V, Ug5 = 41,5 V, Rb5 = 25,4 Ω, U5 = 25,4 V) 2. Determinați curentul și tensiunea rezistorului R4 în ramurile A - B ale rețelei prezentate în figură folosind teorema Thevenin. U = 100 V R1 = 30 R2 = 20 R3 = 30 R4 = 28 R5 = 40 (Rezultate: Ug = 40 V, Rb = 12 Ω, I4 = 1 A, U4 = 28 V) 17

3. Determinați curentul și tensiunea rezistorului R4 în ramurile A - B ale rețelei prezentate în figură folosind teorema Thevenin. U = 120 VI = 10 A R1 = 10 R2 = 20 R3 = 5 R4 = 15 (Rezultate: Ug = 146,7 V, Rb = 11,67 Ω, I4 = 5,5 A, U4 = 82,5 V) 4. Determinați curentul și tensiunea rezistorul R1 al rețelei prezentat în figură folosind teorema Thevenin. I = 6 A R1 = 16 R2 = 6 R3 = 12 R4 = 10 (Rezultate: Ug = 24 V, Rb = 14 Ω, I1 = 0,8 A, U1 = 12,8 V) 5. Determinați circuitul Thevenin imagine surogat pentru punctele A - B, apoi folosiți-l pentru a determina funcția de timp a curentului rezistorului R2, dacă o tensiune u = 33,9 sin 314t [V] este conectată la bornele AB! R1 = 6 R2 = 8 Ω L = 15,9 mh C = 318 F (Rezultate: U g = 20,6/31 o V, Z b = 5,14/31 o Ω, i2 = 2,3 sin (314t 18,9 o) A 18

Cunoscând parametrii generatorului de înlocuire, înlocuim rezistența R2 ca o sarcină și apoi calculăm curentul I2 în cauză: I 2 = I g R b R b + R 2 = 3,75 16 16 + 14 = 2 AA Rezultatul obținut cu două substituții sunt în mod natural aceleași și putem verifica relația Ug = Rb Ig între cantitățile sursă ale celor două generatoare: 60 = 16 * 3,75. 2.2.4 Exerciții 1. Determinați imaginea surogat Norton pentru rezistorul R1 al rețelei prezentate în figură. Folosiți modelul pentru a calcula curentul și tensiunea rezistorului R1. I = 10 A R1 = 24 Ω R2 = 60 Ω R3 = 40 Ω R4 = 12 Ω (Rezultate: Ig = 6,67 A, Rb = 36 Ω, I1 = 4 A, U1 = 96 V 2. Determinați în figură surogatul Norton imaginea rezistenței vizibile R3 rezistor Utilizați modelul pentru a calcula curentul și tensiunea rezistorului R3 U = 120 VR 1 = 30 Ω R 2 = 18 Ω R 3 = 10 Ω R 4 = 30 Ω R 5 = 20 Ω Rezultate: Ig = 4 A, Rb = 15 Ω, I3 = 2.4 A, U3 = 24 V) 3. Determinați curentul și tensiunea rezistorului R 4 al următorului circuit folosind generatorul de înlocuire Norton. U 1 = 120 VU 2 = 90 VR 1 = 20 R 2 = 10 R 3 = 30 R 4 = 50 R 5 = 40 (Rezultate: Ig = 4,2 A, Rb = 25 Ω, I4 = 1,4 A, U4 = 70 V 20

Care este tensiunea de fază, puterea aparentă și reactivă, curentul de fază, curentul de linie, impedanța unei faze? Trebuie determinată valoarea rezistenței și reactanței, care, atunci când sunt conectate în paralel, duce la impedanța în cauză! Soluție: Tensiunea de fază: U f = U v = 400 VP = 3 cos Puterea aparentă: S = = 5 kva 0,6 Puterea reactivă: Q = S sin = 5 * 0,8 = 4 kvar SA curent de fază: I f = = 5000 = 4.17 A 3 U f 3 400 A curent de linie: I v = 3 I f = 3 * 4.17 = 7.21 A Impedanță a unei faze: Z = U f = 400 = 95.9 I f 4.17 Z Rezistență: R p = = 95.9 = 160 cos 0,6 Reactanța ZA: X p = = 95,9 = 120 sin 0,8 3.2.3 Comutare asimetrică în stea O tensiune de linie trifazată, U 100V, consumatorii arătați în figură sunt conectați la o rețea cu patru fire. Calculați curenții de fază și apoi, utilizând diagrama de fază a circuitului, curentul care curge în conductorul zero. Date: R 10, XL 30, XC 30 Soluție: Tensiune de fază: Curentul fiecărei faze: U f = U v = 100 = 57,7 V 3 3 IA = U f = 57,7 = 1,92 AXL 30 IB = U f = 57,7 = 1,92 AXC 30 IC = U f = 57,7 = 5,77 AR 10 Scris pe asterisc, legea nodurilor lui Kirchhoff: IN = IA + IB + IC 25

Diagrama de fază: Cum să desenăm figura: - începem cu sistemul simetric de tensiuni de fază (UA, UB, UC), - tragem curenții de fază (IA 90 o este întârziată comparativ cu UA, IB 90 o este grăbit să Comparativ cu UB, I C este în fază cu U C.) - dacă începem însumarea curenților de fază cu IA + I B, atunci rezultatul lor este într-o linie cu I C, deci putem calcula magnitudinea IN ca diferență algebrică. IN = IC 2 * IA * cos 30 o = 5,77 2 * 1,92 * 3 2 = 2,44 A 3.2.4 Comutare delimetică asimetrică Datele sistemului de consum trifazat prezentate în figură: U 400 V, R 23, XL 40, XC 40. Care sunt curenții de fază? Desenați o diagramă fazer și utilizați aceasta pentru a determina magnitudinea curenților de linie. Soluție: Curentul fiecărei faze: I AB = U f = 400 = 17,4 A R 23 I BC = U f = 400 = 10 A X C 40 I CA = U f = 400 = 10 A X L 40 26

Diagrama fazelor: Cum să desenați figura: - începeți cu sistemul simetric de tensiuni de linie (U AB, U BC, U CA), - trageți curenții de fază (I AB este în fază cu U AB, I BC 90 o în o grabă U BC I CA este cu 90 o mai târziu decât U CA.) - curenți de linie conform legilor nodului: IA = I AB I CA IB = I BC I AB IC = I CA I BC Magnitudinea curenților de fază și în situații de fază, curenții de linie IA, IB, IC formează un triunghi regulat, magnitudinea lor este: IA = IB = IC = 10 Rezolvați problema AA folosind metoda complexă de calcul: Tensiunile de fază: U AB = 400 V (real) U BC = 400 ej 2π 3 Curenții de fază: Curenții de linie: U CA = 400 e + j 2π 3 I AB = U AB R = 400 23 = 17,3 AI BC = U BC XCI CA = U CA XL = = 2π 400 ej 3 40 e jπ 2 2π 400 e + j 3 40 e + jπ 2 = 10 ej π 6 A = (8.66 j 5) A = 10 e + j π 6 A = (8.66 + j 5) AIA = I AB I CA = 17,3 8,66 j5 = 8,66 j5 = 10 ej π 6 AIB = I BC I AB = 8,66 j5 17,3 = 8,66 j5 = 10 ej 5π 6 AIC = I CA I BC = 8,66 + j5 8,66 + j5 = j10 = 10 e j π 2 A 27

5. Conectați consumatorul prezentat în figură la sistemul trifazat cu patru fire de 190 V. Determinați curentul conductiv al fiecărei faze, precum și zero. Date: XL = 220 Ω, XC = 110 Ω. (Rezultate: I A = 0,5 A, I B = I C = 1 A, I N = 1,5 A.) 6. Date ale consumatorului trifazat prezentate în figură: U = 141 V, R = XL = XC = 100 Ω. a) Determinați curenții de fază și de linie. b) Care este puterea sterilă rezultată a consumatorului? (Rezultate: I AB = I BC = I CA = 1 A, IA = 1,94 A, IB = 1,73 A, IC = 0,518 A, Q = 100 var.) 7. Trei stele de rezistență de 1000 W conectate la rețeaua de 400 V. Care sunt curenții care curg în fiecare conductor dacă conductorul fazei A este întrerupt și (a) punctul stelar este conectat la conductorul neutru, (b) nu este conectat. (Rezultate: (a) I A = 0, I B = I C = I N = 4.38 A, (b) I A = 0 A, I B = I C = 3.81 A) 29