Setați operațiile

1. Îmbinați două seturi

Definiție:

Unirea (fuzionarea, suma) a două mulțimi este ansamblul de elemente care sunt elemente ale cel puțin unuia dintre cele două mulțimi.

operații
Notaţie: Simbol al uniunii mulțimilor A și B: A∪B. Pe scurt: c ∈ A∪B dacă c ∈ A obsesie c ∈ B.

Reprezentare: Această operație poate fi ilustrată folosind diagrama Venn după cum urmează:

A ∪ A = A. Unirea oricărei mulțimi cu ea însăși este ea însăși.
A ∪ ∅ = A. Uniunea oricărei mulțimi cu mulțimea goală este ea însăși.
A ∪ B = B ∪ A. Proprietate comutativă (interschimbabilă).
A ∪ B ∪ C = (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C). Proprietate asociativă (grupabilă).

2. O parte comună a două seturi

Definiție:

Intersecția (partea comună, produs) a două seturi este ansamblul de elemente care sunt elementele ambelor seturi.
Notaţie: Intersecția mulțimilor A și B este: A∩B. Pe scurt: c ∈ A ∩ B dacă c ∈ A și c ∈ B.

Reprezentare: Această operație poate fi ilustrată folosind diagrama Venn după cum urmează:

A ∩ A = A Intersecția oricărei mulțimi cu ea însăși este ea însăși.
A ∩∅ = ∅. Intersecția oricărui set cu setul gol este setul gol.
A ∩ B = B ∩A. Comutativitate. (Interschimbabile.)
A ∩ B∩ C = (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C). Proprietate asociativă. (Poate fi grupat.)

Intersecția seturilor disjuncte este un set gol.

Pentru intersecția și fuzionarea seturilor, proprietatea distributivă este adevărată după cum urmează:

  1. Unirea (fuzionarea) seturilor este distributivă pentru intersecția seturilor: A∪ (B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C)
  2. Intersecția mulțimilor este distributivă pentru unirea mulțimilor. A∩ (B∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C)

3. Diferența seturilor

Definiție:

Diferența dintre mulțimile A și B (considerate în această ordine) este mulțimea de elemente care sunt elemente ale mulțimii A și nu elemente ale mulțimii B.
Notaţie: Diferența dintre mulțimile A și B este A \ B. Pe scurt: c ∈ A \ B dacă c ∈ A și c ∉B.

Reprezentare: Această operație poate fi ilustrată folosind diagrama Venn după cum urmează:

A \ A = ∅. Scăderea de la orice set dă setul gol.
A \ ∅ = A. Scăderea setului gol din orice set dă setul original.
A \ B ≠ B \ A. Scăderea seturilor nu este comutativă.
(A \ B) \ C ≠ A \ (B \ C). Scăderea seturilor nu este asociativă.

Set complementar

Definiție

Fie A un subset al setului de bază marcat cu U. (A⊆U) În acest caz: U \ A = \ (\ overline \)

In cuvinte: Diferența dintre un set de bază și subsetul său este setul complementar al subsetului față de setul de bază.

În ceea ce privește intersecția, fuziunea și formarea complementară a mulțimilor, așa-numitul identități de Morgan:

Rezumatul proprietăților operațiilor de set:

  • Dintre operațiile de set, unirea și intersecția seturilor sunt comutative și asociative.
  • Diferența dintre două seturi nu este nici comutativă, nici asociativă.
  • Proprietatea distributivă este adevărată pentru intersecția și fuzionarea seturilor
  • Așa-numitul așa-numit identități de Morgan

Să vedem operațiile de setare într-un exemplu foarte simplu!

Sarcină:

Determinați mulțimile A și B dacă știți că A ∪ B =; A ∩ B =; A \ B =; B \ A =

(Rezumatul sarcinii de colectare a sarcinilor 205.)

Soluţie:

Deoarece A∩ este B =, atunci 3 și 5 sunt elemente ale lui A. Datorită condiției A \ B =, numărul 1 este, de asemenea, un element al lui A. Până acum A =.

Deoarece A ∩ B =, atunci 3 și 5 sunt, de asemenea, elemente ale lui B. Datorită condiției B \ A =, numerele 2 și 4 sunt, de asemenea, elemente ale lui B. Până acum B =.

Deoarece uniunea mulțimilor A și B astfel obținute este aceeași cu cea dată: A ∪B =, rezultatul final este:
A = și B = pot fi doar.
De asemenea, putem rezolva problema pe un desen folosind o diagramă Venn!

Primul Se folosește condiția A∩B =. Elementele mulțimii A∩B aparțin ambelor mulțimi, așa că le scriem în partea comună a celor două mulțimi.

Este acum Se folosește condiția \ B =. Aceasta înseamnă că numărul 1 aparține doar setului A, dar nu și setului B.

În cele din urmă, B \ A = folosirea condiției:

Rezultatul final poate fi citit cu ușurință din diagrama Venn: