Algebră liniară. (pentru economiști) T C T = (1);, D T D =

Algebră liniară (pentru economiști) 10A103 SARCINI PENTRU PRACTICĂ (1.) 2018/2019. semestrul de primăvară Matrici 1.1. Sarcină. Fie A = 1 2 1, B = 1 2 3 1 2 1 1, C = (1 2 0), D = 1 3 1 1 2 1 () 10/2 0,6 1 2 E =, F = 1 1 1 6 2, G =, H =. 1 2 0,3 0,4 1 2 1 0 0,4 Calculați următoarele matrici (dacă există): (a) AB, BA, CB, BC, DC, CD; (b) BF, F2, GH; (c) EB T, E T A, D T C T; (d) (A + B) C, (A + B T) D, AD + B T D. Soluție. (a) AB = 2 1, BA = 6 9 1 2 0 DC = 1 2 0, CD = (1); 2 4 0 2 2 0 ((b) BF nedefinit, F 2 = 1 2 2 1 1 3, GH = 3 0 6 2 2 10 1 7 0 4 4 (c) EB T =, E 3 3 TA =, D 4 0 4 TCT = (1), 1 (d) (A + B) C nedefinit, (A + BT) D =, AD + B 16 TD = 1 2, 3 2 0 4 4, CB = (1 4), BC nedefinit, 4 4 8 + 3 6 17 0 1. 16) 3.87298 2.0338; 0,474342 0,34 1 3 1,2. Sarcină. Calculați valoarea de substituție a polinomului f = x 2 + 3x 4 la A = 4 2 6 3 1 2. Soluţie. Valoarea de substituție a polinomului f în poziția A: 3 1 12 f (a) = A 2 + 3 A 4 I 3 = 26 12 2. 22 12 3 1 1 1.3. Sarcină. Fie A =. Se dau toate matricile B care sunt interschimbabile cu A, 0 1 adică pentru care AB = BA este satisfăcut. Soluţie. Matricea B poate fi (exact) înlocuită cu matricea A dacă există numere a și b reale b pentru care B = deține. 0 și 1.4. Sarcină. Într-o exploatație, tranziția dintre șomeri și lucrători este descrisă de următoarea matrice (pe o perioadă de 1 an):. 0,1 0,7

(j) Dacă AB = BA este satisfăcută pentru matricile A și B, atunci matricile A și B sunt pătratice. (k) Pentru orice matrice pătrată A și B de aceeași dimensiune (Adevărat) (A + B) (AB) = A 2 B 2. (Fals) (l) Dacă A și B pentru matrice pătrate de aceeași dimensiune (A + B) (AB) = A 2 B 2 este satisfăcut, apoi A = B. (Fals) Figurile 1.8-17. În sarcini, doar unul dintre cele patru răspunsuri date este corect, decide care dintre ele. 1.8. Sarcină. Fie matricea A o matrice reală (2 3). (a) Sunt definite produsele AA T și A T A. (b) Produsele AA T și A T A nu sunt definite. (c) Produsul AA T este definit, dar produsul A T A nu este definit. (d) Produsul AA T nu este definit, dar este definit produsul A T A. Soluţie. (a) 1.9. Sarcină. Să se dea matricile A R 2 3, B R 3 3 și C R 2 4. La. (a) se definește produsul ABC. (c) se definește produsul ABE 3 C T. (b) se definește produsul C T AB. (d) se definește produsul BA T C T. 1.10. Sarcină. Fie date matricile A R 2 3, B R 3 4 și C R 4 2. La. (a) egalitatea ABC = CAB este satisfăcută. (c) se definește suma AB + BC. 1.11. Sarcină. Dacă A R m n (m, n N), B R k l (k, l N) și (a) n = k, atunci A + B există. (c) m = n = k = 1, atunci AB (BA) T există. Soluţie. (c) (b) Ecuația (AB) C = A (BC) este valabilă. (d) produsul BCAB nu este definit. (b) m = n = k = 1, apoi AB = BA. (d) m = n = k = 1, apoi (B + A) T = AB. 3

1.23. Sarcină. Fie A o matrice de (n n) astfel încât suma elementelor din fiecare coloană să fie 0. Dovediți că există un vector coloană de v (n 1) pentru care Av = 0 este satisfăcut. 1.24. Sarcină. Suma elementelor din diagonala sa principală se numește urma unei matrici pătrate (semn: Trace (A)). Demonstrați că dacă A și B sunt matrice pătrate de aceeași dimensiune, atunci Trace (AB) = Trace (BA). 1.2. Sarcină. Fie A o matrice reală și să presupunem că urmele matricei AA T sunt 0. Determinați A. 1.26. Sarcină. Sunt îndeplinite următoarele ecuații pentru orice matrice A și B (n n) (n N)? (a) (A + B) (A B) = A 2 B 2; (b) (AB) T = A T B T; (c) A s A t = A st (s, t N).